题目

题型：解答题难度：一般来源：海淀区

已知关于x的方程kx²+（2k-1）x+k-1=0（1）只有整数根，且关于y的一元二次方程（k-1）y²-3y+m=0（2）有两个实数根y₁和y₂
（1）当k为整数时，确定k的值；
（2）在（1）的条件下，若m＞-2，用关于m的代数式表示y₁²+y₂²．

答案

（1）当k=0时，方程（1）化为-x-1=0，x=-1，方程有整数根（1分）
当k≠0时，方程（1）可化为（x+1）（kx+k-1）=0
解得x₁=-1，x₂=

-k+1

k

=-1+

1

k

；
∵方程（1）的根是整数，所以k为整数的倒数．
∵k是整数
∴k=±1
此时△=（2k-1）²-4k（k-1）=1＞0（3分）
但当k=1时，（k-1）y²-3y+m=0不是一元二次方程
∴k=1舍去
∴k=0，k=-1；（14分）

（2）当k=0时，方程（2）化为-y²-3y+m=0
∵方程（2）有两个实数根
∴△=9+4m≥0，即m≥-

9

4

，又m＞-2
∴当m＞-2时，y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=9+2m；（6分）
当k=-1时，方程（2）化为-2y²-3y+m=0，方程有两个实数根
∴△=9+8m≥0，即m≥-

9

8

∵m＞-2，
∴当-2＜m＜-

9

8

时，方程（2）无实数根
当m≥-

9

8

时，有y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=

9

4

+m．（7分）