题目

题型：解答题难度：一般来源：山东省期中题

观察下列各式：
（a﹣1）（a+1）
=a²﹣1（a﹣1）（a²+a+1）
=a³+a²+a﹣a²﹣a﹣1
=a³﹣1（a﹣1）（a³+a²+a+1）
=a⁴+a³+a²+a﹣a³﹣a²﹣a﹣1
=a⁴﹣1
根据观察的规律，解答下列问题：
（1）填空：①（a﹣1）（ _________ ）=a⁶﹣1；
②（a﹣1）（a¹¹+a¹⁰+…+a+1）= _________ ；
③（a﹣1）（aⁿ+a^n﹣1+a^n﹣2+…+a+1）= _________ ；
（2）已知：，求：2+23+25+27+…+22007+22009的值。

答案

解：（1）∵（a﹣1）（a+1）
=a²﹣1，
（a﹣1）（a²+a+1）
=a³+a²+a﹣a²﹣a﹣1
=a³﹣1，
（a﹣1）（a³+a²+a+1）
=a⁴+a³+a²+a﹣a³﹣a²﹣a﹣1
=a⁴﹣1，
∴①a⁵+a⁴+a³+a²+a+1；
②a¹²﹣1；
③aⁿ⁺¹﹣1；
（2）解：因为（2﹣1）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰）
=2²⁰¹¹﹣1，
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰=2²⁰¹¹﹣1
而，
所以

故答案为：a⁵+a⁴+a³+a²+a+1，a¹²﹣1，aⁿ⁺¹﹣1。