题目

题型：解答题难度：一般来源：江西省月考题

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=2²﹣0²，12=4²﹣2²，20=6²﹣4²，因此4，12，20都是“神秘数”
（1）28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方数（取正数）是神秘数吗？为什么？

答案

解：（1）28=4×7=8²﹣6²；2012=4×503=504²﹣502²，
所以是神秘数．
（2）（2k+2）²﹣（2k）²=（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），
∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．
（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，
则（2k+1）²﹣（2k﹣1）²=8k，
∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．