题目
题型:高考真题难度:来源:
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
答案
由a>1知,当x<2时,f′(x)>0,故f(x)在区间(-∞,2)是增函数;
当2<x<2a时,f′(x)<0,故f(x)在区间(2,2a)是减函数;
当x>2a时,f′(x)>0,故f(x)在区间(2a,+∞)是增函数,
综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)是增函数,在区间(2,2a)是减函数.
(Ⅱ)由(I)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值,
f(2a)=(2a)3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a,,
由假设知,即,
解得1<a<6,
故a的取值范围是(1,6).
核心考点
试题【设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围. 】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)求实数a,b的值;
(Ⅱ)设g(x)=f(x)+是[2,+∞)上的增函数。
(i)求实数m的最大值;
(ii)当m取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由。
[ ]
A.f(x)>0
B.f(x)<0
C.f(x)>x
D.f(x)<x
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设a≤-2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|。
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设函数f(x)在区间内是减函数,求a的取值范围。
(I)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)当时,讨论f(x)的单调性。
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