题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

一个完全平方数n的最后k（k≥2）位数字是相同的非零数字a，问：
（1）a为哪个数字？
（2）k最大为多少？
（3）当k最大时，写出最小的具有这样性质的数．（不必证明）

答案

（1）一个平方数的末位数字（非0）只能是1，4，5，6，9．
∴数n的末二位必然是11，44，55，66，99，
又n为平方数，
∴n≡0或1（mod4）．
而末二位是11，55，99的数同余于3（mod4），
末二位是66的数同余于2（mod4）．
∴a只能为4，如144=12²．

（2）若至少有连续4个4，即n=m²=t?10⁴+4444．
∴可设m=2m₁，m₁²=25t?10²+1111≡3（mod4）．
同（1）可知，25t?10²+1111不能为完全平方数．
∴至多连续3个4．（能够做到，见（3））

（3）当k最大时，最小的具有这样性质的数为1444=38²．