题目

怎样求二面角?

提问时间：2021-04-01

答案

平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,叫做二面角.（这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面）
作二面角的平面角的常用方法有六种：1.定义法 2.垂面法 3.射影定理 4.三垂线定理 5.向量法 6.转化法
二面角一般都是在两个平面的相交线上,取恰当的点,经常是端点和中点.过这个点分别在两平面做相交线的垂线,然后把两条垂线放到一个三角形中考虑.有时也经常做两条垂线的平行线,使他们在一个更理想的三角形中.由公式S射影=S斜面cosθ,作出二面角的平面角直接求出.运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影,而且它们的面积容易求得
也可以用解析几何的办法,把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来.然后根据n1·n2=｜n1｜｜n2｜cosα,θ=α为两平面的夹角.这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面,指向两平面内,所求两平面的夹角θ=π-α
二面角的通常求法：（
1）由定义作出二面角的平面角；
（2）作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；
（3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；
（4）空间坐标求二面角的大小.
求二面角大小的基本步骤
（1）作出二面角的平面角：A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角； B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角； C：利用与棱垂直的直线,通过作棱的垂面作平面角； D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角.
（2）证明该角为平面角；
（3）归纳到三角形求角.
另外,也可以利用空间向量求出.