题目
如图,在平面直角坐标系xoy中,已知矩形ABCD的边AB、AD分别在x轴、y轴上,点A与坐标原点重合,且AB=2,AD=1.
操作:将矩形ABCD折叠,使点A落在边DC上.
探究:
(1)我们发现折痕所在的直线与矩形的两边一定相交,那么相交的情形有几种请你画出每种情形的图形;(只要用矩形草稿纸动手折一折你会有发现的!)
(2)当折痕所在的直线与矩形的边OD相交于点E,与边OB相交于点F时,设直线的解析式为y=kx+b.
①求b与k的函数关系式;
②求折痕EF的长(用含k的代数式表示),并写出k的取值范围.
操作:将矩形ABCD折叠,使点A落在边DC上.
探究:
(1)我们发现折痕所在的直线与矩形的两边一定相交,那么相交的情形有几种请你画出每种情形的图形;(只要用矩形草稿纸动手折一折你会有发现的!)
(2)当折痕所在的直线与矩形的边OD相交于点E,与边OB相交于点F时,设直线的解析式为y=kx+b.
①求b与k的函数关系式;
②求折痕EF的长(用含k的代数式表示),并写出k的取值范围.
提问时间:2021-03-23
答案
(1)
(2)令y=0,得x=-
,令x=0,得y=b,
∴E(0,b),F (-
,0),
①如图设A折叠后与M点重合,M的坐标为(m,1),连接EM,根据折叠知道EF⊥OM,而MD⊥OD,
∴△EOF∽△MDO,
∴
=
,而OE=b,OF=-
,DM=m,OD=1,
代入比例式中得到m=-k,在Rt△EDM中,EM2=ED2+DM2,而根据折叠知道OE=EM,
∴b2=(1-b)2+(-k)2,
∴b=
;
②在Rt△OEF中,EF2=OE2+OF2,
∴EF=
=b
,
∵k<0,
∴EF=-
,
∵OE=b<1,OF=-
<2,
∴-1<k<
-2.
(2)令y=0,得x=-
b |
k |
∴E(0,b),F (-
b |
k |
①如图设A折叠后与M点重合,M的坐标为(m,1),连接EM,根据折叠知道EF⊥OM,而MD⊥OD,
∴△EOF∽△MDO,
∴
DM |
EO |
OD |
FO |
b |
k |
代入比例式中得到m=-k,在Rt△EDM中,EM2=ED2+DM2,而根据折叠知道OE=EM,
∴b2=(1-b)2+(-k)2,
∴b=
1+k2 |
2 |
②在Rt△OEF中,EF2=OE2+OF2,
∴EF=
b2+(
|
|
∵k<0,
∴EF=-
1+k2 |
2k |
1+k2 |
∵OE=b<1,OF=-
b |
k |
∴-1<k<
3 |
(1)此题可以首先确定两种特殊情况:一是当点A和点D重合时,则折痕即为OD的垂直平分线;二是点A和点C重合时,则折痕是AC的垂直平分线.根据这两种特殊情况,其它的只能位于这两种折痕之间.
(2)令y=0,得x=-
,令x=0,得y=b,
①如图,设A折叠后与M点重合,M的坐标为(m,1),证明△EOF∽△MDO,根据相似三角形的对应边成比例得到
=
,则OE=b,OF=-
,DM=m,OD=1,这样就可以用b,k表示m,然后在Rt△EDM中就可以得到k,b的关系式;
②在Rt△OEF中根据勾股定理可以用k的代数式表示了.
(2)令y=0,得x=-
b |
k |
①如图,设A折叠后与M点重合,M的坐标为(m,1),证明△EOF∽△MDO,根据相似三角形的对应边成比例得到
DM |
EO |
OD |
FO |
b |
k |
②在Rt△OEF中根据勾股定理可以用k的代数式表示了.
一次函数综合题;翻折变换(折叠问题).
此题比较复杂,把折叠的问题放在一次函数的图象的背景中,将代数和几何知识结合起来解题,对学生的要求比较高.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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