题目

1.已知a.b.c分别是三角形ABC的三个内角A.B.C的对边,若a=1,b=根号3,A+C=2B,则sinC=____
2.在三角形ABC中,c=根号8,tanA=3,tanB=2,则三角形ABC的面积为___
3.在三角形ABC中,a.b.c分别是角A.B.C的对边,设a+c=2b,A-C=60°,求sinB.

提问时间：2021-02-27

答案

1 由A+C=2B得：
180°-B=2B,解得B=60°
由余弦定理,
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/2
解得：c=2
由正弦定理,有
b/sinB=c/sinC
解得sinC=1
2 tanC=-tan(A+B)
=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
=1
故C=45°
sinA=tanA/√(1+(tanA)^2)=3/√10
sinB=tanB/√(1+(tanB)^2)=2/√5
由a/sinA=b/sinB=c/sinC
得a=(6√10)/5,b=(8√5)/5
故S△ABC=(1/2)absinC=24/5
3 由正弦定理,由a+b=2c
得：sinA+sinC=2sinB
和差化积：
2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=2sinB
2sin[(180°-B)/2]cos30°=2sinB
√3cos(B/2)=2sinB
√3cos(B/2)=2×2sin(B/2)cos(B/2)
sin(B/2)=√3/4
故cos(B/2)=√13/4
sinB=2sin(B/2)cos(B/2)=√39/8