题目
证明:2(cosx-sinx)/1+sinx+cosx=cosx/1+sinx-sinx/1+cosx
提问时间:2020-08-28
答案
证明:右边=cosx/(1+sinx)-sinx/(1+cosx)=[cosx(1+cosx)-sinx(1+sinx)]/(1+sinx)(1+cosx)
=(cosx-sinx)(1+sinx+cosx)/(1+sinx+cosx+sinxcosx)
因为,(sinx+cosx)²=1+2sinxcosx
所以,2sinxcosx=(sinx+cosx)²-1=(sinx+cosx+1)(sinx+cosx-1)
即:sinxcosx=(1+sinx+cosx)(sinx+cosx-1)/2
所以,右边=cosx/(1+sinx)-sinx/(1+cosx)=[cosx(1+cosx)-sinx(1+sinx)]/(1+sinx)(1+cosx)
=(cosx-sinx)(1+sinx+cosx)/(1+sinx+cosx+sinxcosx)
=(cosx-sinx)(1+sinx+cosx)/[1+sinx+cosx+(1+sinx+cosx)(sinx+cosx-1)/2]
=2(cosx-sinx)(1+sinx+cosx)/(1+sinx+cosx)(2+sinx+cosx-1)
=2(cosx-sinx)/(1+sinx+cosx)=左边
所以,2(cosx-sinx)/(1+sinx+cosx)=cosx/(1+sinx)-sinx/(1+cosx)
【点评】在证明三角函数恒等式时,常采用三种方法:1、从等式的左边向右证;2、从等式的右边向左证;3、从等式的左、右出发证明恒等于同一个等式.以上三种方法的选择都是视具体的题目而定.本题选择第二种方法比较容易证明,故采用了从等式的右边向左证明.
=(cosx-sinx)(1+sinx+cosx)/(1+sinx+cosx+sinxcosx)
因为,(sinx+cosx)²=1+2sinxcosx
所以,2sinxcosx=(sinx+cosx)²-1=(sinx+cosx+1)(sinx+cosx-1)
即:sinxcosx=(1+sinx+cosx)(sinx+cosx-1)/2
所以,右边=cosx/(1+sinx)-sinx/(1+cosx)=[cosx(1+cosx)-sinx(1+sinx)]/(1+sinx)(1+cosx)
=(cosx-sinx)(1+sinx+cosx)/(1+sinx+cosx+sinxcosx)
=(cosx-sinx)(1+sinx+cosx)/[1+sinx+cosx+(1+sinx+cosx)(sinx+cosx-1)/2]
=2(cosx-sinx)(1+sinx+cosx)/(1+sinx+cosx)(2+sinx+cosx-1)
=2(cosx-sinx)/(1+sinx+cosx)=左边
所以,2(cosx-sinx)/(1+sinx+cosx)=cosx/(1+sinx)-sinx/(1+cosx)
【点评】在证明三角函数恒等式时,常采用三种方法:1、从等式的左边向右证;2、从等式的右边向左证;3、从等式的左、右出发证明恒等于同一个等式.以上三种方法的选择都是视具体的题目而定.本题选择第二种方法比较容易证明,故采用了从等式的右边向左证明.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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