题目

已知函数f（x）=

bx+1

2x+a

，a、b为常数，且ab≠2，若对一切x恒有f（x）f（

1

x

）=k（k为常数）则k=______．

提问时间：2020-06-13

答案

∵f（x）=

bx+1

2x+a

，∴f（

1

x

）=

b 1 x +1

2 1 x +a

=

b+x

2+ax

，
则f（x）f（

1

x

）=

bx+1

2x+a

•

b+x

2+ax

则f（x）f（

1

x

）-k=

(bx+1)(b+x)−k(2x+a)(2+ax)

(2x+a)(2+ax)

=

(b−2ak)x2+(b2+1−4k−ka2)x+b−2ak

(2x+a)(2+ax)

=0恒成立．
则

b−2ak＝0 b2+1−4k−a2k＝0

消去b可得
4a²k²-（4+a²）k+1=0，
解得，k=

1

4

，k=

1

a2

．
若k=

1

a2

，则b=2ak=

2

a

，则ab=2，
与ab≠2相矛盾，舍去．
则k=

1

4

．
故答案为

1

4

．

由f（x）求出f（

1

x

），再由f（x）f（

1

x

）=k化简求出k值，而后验证．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查了函数与恒成立问题，化简很容易出错，要细致．