题目

在三角形ABC中,AB=AC,P为三角形ABC内一点,且PC大于PB.求证:∠APB大于∠APC.

提问时间：2020-10-09

答案

证明：
过点A作AD⊥BC,交BC于点D.
易知AD也是中线和角平分线.
下面,我们首先来证明点P位于△ABD内.
过点P作PE⊥BC,交BC于点E,则有
BE²=PB²-PE²
CE²=PC²-PE²
因为PC＞PB
所以CE＞BE
从而点P位于△ABD内
所以有
∠BAP＜∠A/2
∠CAP＞∠A/2
从而
∠CAP＞∠BAP ①
又因为PC＞PB
所以有
∠PBC＞∠PCB
进而有
∠ACP=∠C-∠PCB=∠B-∠PCB＞∠B-∠PBC=∠ABP ②
因为
∠APB=180°-∠BAP-∠ABP
∠APC=180°-∠CAP-∠ACP
所以再由①,②便可得到
∠APB＞∠APC
证完.