题目

题型：模拟题难度：来源：

如图所示，圆心在原点、半径为R的圆将xOy平面分为两个区域，在圆内区域I(r ≤R)和圆外区域Ⅱ(r>R)分别存在两个匀强磁场，方向均垂直于xOy平面。垂直于xOy平面放置两块平面荧光屏，其中荧光屏甲平行于x轴放置在y=-2.2R的位置，荧光屏乙平行于y轴放置在x=3.5R的位置。现有一束质量为m、电荷量为q(q>0)、动能为E0的粒子从坐标为(-R，0)的A点沿x轴正方向射入区域I，最终打在荧光屏甲上，出现亮点N的坐标为(0.4R，-2.2R)。若撤去圆外磁场，粒子也打在荧光屏甲上，出现亮点M的坐标为(0，-2.2R)，此时，若将荧光屏甲沿y轴负方向平移，发现亮点的x轴坐标始终保持不变。不计粒子重力影响。
(1)求在区域I和Ⅱ中粒子运动速度v₁、v₂的大小；
(2)求在区域I和Ⅱ中磁感应强度B₁、B₂的大小和方向；
(3)若上述两个磁场保持不变，荧光屏仍在初始位置，但从A点沿x轴正方向射入区域I的粒子束改为质量为m、电荷量为-q、动能为3E₀的粒子，求荧光屏上出现亮点的坐标。

答案

解：(1)由于在磁场中运动时洛伦兹力不做功，所以在区域I和Ⅱ中粒子运动速度大小就是在A点入射时的初始速度大小v
由，可得
(2)粒子在区域I中运动了四分之一圆周后，从C点沿y轴负方向进入区域Ⅱ的磁场。如图甲所示，圆周运动的圆心是O₁点，半径为r₁=R

                      图甲
由，得，方向垂直于xOy平面向外
粒子进入区域Ⅱ后做半径为r₂的圆周运动，由，可得
圆周运动的圆心O₂坐标为（r₂，-R），圆周运动轨迹方程为
将N点的坐标(0.4R，-2.2R)代入上式，可得r₂=2R
求得：，方向垂直于xOy平面向里
(3)如图乙所示，粒子先在区域I中做圆周运动
由3E₀=可知，运动速度为

                     图乙
轨道半径为
由圆心O₃的坐标可知，O₃A与O₃O的夹角为30°。通过分析如图的几何关系，粒子从D点穿出区域I的速度方向与x轴正方向的夹角为θ=60°
粒子进入区域Ⅱ后做圆周运动的半径为
其圆心O₄的坐标为（Rcos60°+r₄cos30°，Rsin60°-r₄sin 30°），即，说明圆心O₄恰好在荧光屏乙上。所以，亮点将出现在荧光屏乙上的P点
其y轴坐标为
其x轴坐标为x=3.5R