题目

题型：不详难度：来源：

如图甲所示，三个物体A、B、C静止放在光滑水平面上，物体A、B用一轻质弹簧连接，并用细线拴连使弹簧处于压缩状态，三个物体的质量分别为m_A=0.1kg、m_B=0.2kg和m_C=0.1kg．现将细线烧断，物体A、B在弹簧弹力作用下做往复运动（运动过程中物体A不会碰到物体C）．若此过程中弹簧始终在弹性限度内，并设以向右为正方向，从细线烧断后开始计时，物体A的速度‒时间图象如图乙所示．求：
（1）从细线烧断到弹簧恢复原长运动的时间；
（2）弹簧长度最大时弹簧存储的弹性势能；
（3）若弹簧与物体A、B不连接，在某一时刻使物体C以v₀的初速度向右运动，它将在弹簧与物体分离后和物体A发生碰撞，所有碰撞都为完全弹性碰撞，试求在以后的运动过程中，物体C与物体A能够发生二次碰撞，物体C初速度v₀的取值范围．（弹簧与物体分离后，迅速取走，不影响物体后面的运动）

答案

（1）由图乙所示图象可知，在

T

4

、

T

2

+

T

4

、T+

T

4

…时刻，
即t=

1

4

T+

k

2

T，（k=0、1、2、3…）时，弹簧恢复原长．
（2）由图乙所示图象可知，弹簧恢复原长时，
v_A=-4m/s，A、B组成的系统动量守恒，
从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，
由动量守恒定律得：m_Av_A+m_Bv_B=0，
即：0.1×（-4）+0.2×v_B=0，解得：v_B=2m/s，
当弹簧长度最大时，系统机械能完全转化为弹簧的弹性势能，
由能量守恒定律得：弹簧的最大弹性势能：
E=

1

2

m_Av_A²+

1

2

m_Bv_B²=

1

2

×0.1×（-4）²+

1

2

×0.2×2²=1.2J；
（3）由图象可知，物体A、B不连接，A、B与弹簧分离后，
A的速度v_A=-4m/s，方向向左，C与A发生完全弹性碰碰撞，
由动量守恒定律得：m_Av_A+m_Cv₀=m_Av_A′+m_Cv，
即：0.1×（-4）+0.1×v₀=0.1×v_A′+0.1×v…①
由能量守恒定律得：

1

2

m_Av_A²+

1

2

m_Cv₀²=

1

2

m_Av_A′²+

1

2

m_Cv²，
即：

1

2

×0.1×（-4）²+

1

2

×0.1×v₀²=

1

2

×0.1×v_A′²+

1

2

×0.1×v² …②
C与A要发生第二次碰撞，需要满足：v＞v_A′…③
由①②③解得：v₀＞20m/s．
答：（1）从细线烧断到弹簧恢复原长运动需要的时间为：t=

1

4

T+

k

2

T（k=0、1、2、3…）；
（2）弹簧长度最大时弹簧存储的弹性势能为1.2J；
（3）物体C与物体A能够发生二次碰撞，物体C初速度需要满足的条件为：v₀＞20m/s．