题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，一辆质量为1.5kg的小车静止在光滑水平面上，一个质量为0.50kg的木块，以2.0m/s的速度水平滑上小车，最后与小车以相同的速度运动．小车上表面水平，木块与车上表面的动摩擦因数是0.20．g取10m/s²，求
（1）木块与小车共同运动的速度的大小；
（2）木块在小车上相对滑行的时间；
（3）设小车与光滑水平面足够长，若水平面右端也有一高度与左端一样的平台，且小车与两边平台碰撞过程中均没有能量损失，求从木块滑上小车开始到木块与小车第n共同运动的时间及木块在小车上滑行的路程．

答案

（1）根据运动过程中动量守恒得：
mv₀=（M+m）v₁
解得：v1=

m

M+m

v0=0.5m/s
（2）根据动量定理得：
μmgt=Mv₁-0
t1=

Mv0

(M+m)μg

=0.75s
（3）若M＞m，从第一次木板以v₁反弹开始，有
Mv₁-mv₁=（M+m）v₂
Mv₂-mv₂=（M+m）v₃…
Mv_n-1-mv_n-1=（M+m）v_n
解得：
v2=

M-m

M+m

v1
v3=

M-m

M+m

v2
…
vn=

M-m

M+m

vn-1=(

M-m

M+m

)n-1

m

M+m

v0
根据动能定理得：
μmgx1=

1

2

mv02-

1

2

(M+m)v12
μmgx2=

1

2

mv12-

1

2

(M+m)v22
…
μmgxn=

1

2

mvn2-

1

2

(M+m)vn-12
解得：
x1=

M

2μg(M+m)

v02
x2=

2M

μg(M+m)

v12
x3=

2M

μg(M+m)

v22=

2M

μg(M+m)

(

M-m

M+m

)2v12

xn=

2M

μg(M+m)

vn-12=

2M

μg(M+m)

(

M-m

M+m

)2(n-2)v12

x₂，x₃，x₄，…x_n是一个首项为

2M

μg(M+m)

v

21

公比为(

M-m

M+m

)2 的等比数列，共有n-1项
Sn=x1+

2M

μg(M+m)

v

21

n

n=2

(

M-m

M+m

)2(n-2)
=x1+

2M

μg(M+m)

v

21

•

1-( M-m M+m )2(n-1)

1-( M-m M+m )2

=

M

2μg(M+m)

v

20

+

2M

μg(M+m)

v

21

•

1-( M-m M+m )2(n-1)

1-( M-m M+m )2

=

M

2μg(M+m)

v

20

+

2M

μg(M+m)

•(

m

M+m

)2

v

20

•

1-( M-m M+m )2(n-1)

1-( M-m M+m )2

=

M v 20

2μg(M+m)

+

m v 20

2μg(M+m)

•[1-(

M-m

M+m

)2(n-1)]
在板上滑行的时间（不包含从共速至与平台碰撞的时间）
-μmgt₂=Mv₂-Mv₁
-μmgt₃=Mv₃-Mv₂…
-μmgt_n=Mv_n-Mvn-1
t2=

2M

μg(M+m)

v1
t3=

2M

μg(M+m)

v2=

2M

μg(M+m)

 •

M-m

M+m

v1
tn=

2M

μg(M+m)

vn-1=tn=

2M

μg(M+m)

 •(

M-m

M+m

)n-2v1

t₂，t₃，t₄，…t_n是一个首项为

2M

μg(M+m)

v1 公比为 (

M-m

M+m

) 的等比数列，共有n-1项
tn=t1+

2M

μg(M+m)

v1

n

n=2

(

M-m

M+m

)n-2=t1+

2M

μg(M+m)

v1•

1-( M-m M+m )(n-1)

1-( M-m M+m )

=

Mv0

(M+m)μg

+

2M

μg(M+m)

v1•

1-( M-m M+m )(n-1)

1-( M-m M+m )

=

Mv0

(M+m)μg

+

2M

μg(M+m)

•

m

M+m

v0•

1-( M-m M+m )(n-1)

1-( M-m M+m )

=

Mv0

μg(M+m)

•[2-(

M-m

M+m

)(n-1)]
同理可得：若M＜m，
x₂，x₃，x₄，…x_n是一个首项为

2M

μg(M+m)

v

21

公比为(

m-M

m+M

)2 的等比数列，
共有n-1项
Sn=x1+

2M

μg(M+m)

v

21

n

n=2

(

m-M

m+M

)2(n-2)
=x1+

2M

μg(M+m)

v

21

n

n=2

(

m-M

m+M

)2(n-2)
=

M

2μg(M+m)

v

20

+

2M

μg(M+m)

v

21

•

1-( m-M m+M )2(n-1)

1-( m-M m+M )2

=

M

2μg(M+m)

v

20

+

2M

μg(M+m)

•(

m

M+m

)2

v

20

•

1-( m-M m+M )2(n-1)

1-( m-M m+M )2

=

M v 20

2μg(M+m)

+

m v 20

2μg(M+m)

•[1-(

m-M

m+M

)2(n-1)]
在板上滑行的时间（不包含从共速至与平台碰撞的时间）
-μmgt₂=mv₂-mv₁
-μmgt₃=mv₃-mv₂
…
-μmgt_n=mv_n-mv_n-1
t2=

2m

μg(m+M)

 v₁
t2=

2m

μg(m+M)

 v2=

2m

μg(m+M)

 •

m-M

m+M

v₁
所以tn=

2m

μg(m+M)

 vn-1=

2m

μg(m+M)

 •(

m-M

m+M

)n-2v₁

t₂，t₃，t₄，…t_n是一个首项为

2m

μg(m+M)

v1，公比为 (

m-M

m+M

) 的等比数列，共有n-1项
tn=t1+

2m

μg(m+M)

v1

n

n=2

(

m-M

m+M

)n-2=t1+

2m

μg(m+M)

v1•

1-( m-M m+M )(n-1)

1-( m-M m+M )

=

Mv0

(M+m)μg

+

2m

μg(m+M)

v1•

1-( m-M m+M )(n-1)

1-( m-M m+M )

=

Mv0

(M+m)μg

+

2m

μg(m+M)

•

m

M+m

v0•

1-( m-M m+M )(n-1)

1-( m-M m+M )

=

Mv0

(M+m)μg

+

m2v0

μgM(m+M)

•[1-(

m-M

m+M

)(n-1)]．
答：（1）木块与小车共同运动的速度的大小为0.5m/s；
（2）木块在小车上相对滑行的时间为0.75s；
（3）从木块滑上小车开始到木块与小车第n共同运动的时间为

Mv0

μg(M+m)

•[2-(

M-m

M+m

)(n-1)]或

Mv0

(M+m)μg

+

m2v0

μgM(m+M)

•[1-(

m-M

m+M

)(n-1)]，木块在小车上滑行的路程为

M v 20

2μg(M+m)

+

m v 20

2μg(M+m)

•[1-(

M-m

M+m

)2(n-1)]或

M v 20

2μg(M+m)

+

m v 20

2μg(M+m)

•[1-(

m-M

m+M

)2(n-1)]．