题目

题型：苏州模拟难度：来源：

如图所示，光滑水平面上，质量为2m的小球B连接着轻质弹簧、处于静止状态；质量为m的小球A以速度v₀向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间后，A与弹簧分离．设小球A、B与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以内．
（1）求当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E．
（2）若开始时在小球B的右侧某位置固定一块挡板（图中未画出），在小球A与弹簧分离前使小球B与挡板发生正撞，并在碰后立刻将挡板撤走．设小球B与固定挡板的碰撞时间极短，碰后小球B的速度大小不变、但方向相反．设此后弹簧性势能的最大值为E_m，求E_m可能值的范围．

答案

（1）当A球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A、B速度相同时，弹簧的势能最大．
设A、B的共同速度为v，弹簧的最大势能为E，则A、B系统动量守恒：mv₀=（m+2m）v①
由机械能守恒：

1

2

m

v

20

=

1

2

（m+2m）v²+E…②
联立两式得：E=

1

3

m

v

20

…③
（2）设B球与挡板碰撞前瞬间的速度为v_B，此时A的速度为v_A．
系统动量守恒：mv₀=mv_A+2mv_B…④
B与挡板碰后，以v_B向左运动，压缩弹簧，当A、B速度相同（设为v_共）时，弹簧势能最大，为E_m，
则：mv_A-2mv_B=3mv_共…⑤

1

2

m

v

20

═

1

2

×3m

v

2共

+Em…⑥
由④⑤两式得：v_共=

v0-4vB

3

代入⑥式，化简得：E_m=

8m

3

[-（v_B-

v0

4

）²+

3v 20

16

]…⑦
而当弹簧恢复原长时相碰，v_B有最大值v_Bm，则：
mv₀=mv_A′+2mv_Bm          

1

2

mv₀²=

1

2

mv_A′²+

1

2

×2mv_Bm²
联立以上两式得：v_Bm=

2

3

v₀即v_B的取值范围为：0＜V_B≤

2

3

v₀…⑧
结合⑦式可得：当v_B=

v0

4

时，E_m有最大值为：

1

2

m

v

20

…⑨
当v_B=

2

3

v₀时，E_m有最小值为：

1

27

m

v

20

答：（1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能是

1

3

m

v

20

．
（2）此后弹簧的弹性势能最大值的范围为[

1

27

m

v

20

，

1

2

m

v

20

]．