题目

题型：南通模拟难度：来源：

如图（甲）所示，小物块m₁与m₂通过一轻弹簧相连，静止于固定的光滑水平长木板上，物块m₁与固定在长木板上的竖直挡板接触．现将小物块m₃正对物块m₁与m₂的方向以初速度v₀运动，与物块m₂发生无机械能损失的碰撞．已知物块m₁与m₂的质量均为m，物块m₃的质量为m/3，弹簧的劲度系数为k，且下述过程中弹簧形变始终在弹性限度内．



（1）试求在碰后过程中物块m₃的速度和物块m₁的最大速度；
（2）若只将长木板右端抬高，变成倾角为θ的固定斜面，如图（乙）所示，物块m₁、m₂处于静止状态，现让物块m₃从长木板上的A点静止释放，与物块m₂相碰后粘合在一起，为使物块m₂、m₃向上反弹到最大高度时，物块
m₁对挡板的压力恰为零，则A点与碰撞前物块m₂的距离为多大？整个运动过程中弹簧最多比原来增加多少弹性势能？

答案

（1）设碰撞后物块m₃的速度为v₁，m₂的速度为v₂
碰撞过程中动量守恒，m₃v₀=m₃v₁+m₂v₂
又发生无机械能损失的碰撞，

1 2 m3v

20

=

1 2 m3v

23

+

1 2 m2v

22

解得：v₁=-

1

2

v₀，v₂=

1

2

v₀
即物块m₃的速度大小是

1

2

v₀，方向水平向右．
物块m₁离开挡板时，物块m₂的速度大小是

1

2

v₀，方向向右．
当物块m₁的速度最大时，弹簧恢复原长，设物块m₁的最大速度为v_m，此时物块m₂的速度为v₃，
根据m₁、m₂和弹簧系统动量守恒得
m₂

v0

2

=m₂v₃+m₁v_m

1 2 m2( v0 2 )

2

=

1 2 m2v

23

+

1 2 m1v

2m

解得：v_m=

1

2

v₀
（2）设物块m₃和物块m₂碰撞前弹簧压缩量为x₁，mgsinθ=kx₁，
设物块m₃开始下滑时离物块m₂的距离为L，下落到与物块m₂碰前的速度为v₄，
根据机械能守恒得
m₃gsinθ L=

1 2 m3v

24

物块m₃和物块m₂碰撞，动量守恒，设碰后物块速度为v₅
m₃v₄=（m₃+m₂）v₅
当物块m₂向上反弹到最大高度时，物块m₁对挡板的压力恰为零，此时弹簧伸长x₂=x₁．
弹簧的弹性势能相等，碰撞后整个系统机械能守恒，

1

2

（m₃+m₂）

v

25

=（m₃+m₂）g•2x₂sinθ
解得：L=

32mgsinθ

k

弹簧压缩最大时，整个运动过程中弹簧增加的弹性势能最大，此时物块m₂的速度为零，对物块m₃和物块m₂粘合在一起后与弹簧组成的系统，
设静止时弹簧的压缩量为x₃，所以（m₃+m₂）ginθ=kx₃
由运动的对称性可知，物块m₃和物块m₂整体向下运动的最大距离为s=2x₃
设弹簧最多增加的弹性势能为△E_pm，对物块m₃、m₂和弹簧组成的系统，由功能关系得
△E_pm=

1

2

（m₃+m₂）

v

25

+（m₃+m₂）g•s•inθ
解得：△E_pm=

56(mgsinθ)2

9k

答：（1）在碰后过程中物块m₃的速度和物块m₁的最大速度是

1

2

v₀；
（2）A点与碰撞前物块m₂的距离为

32mgsinθ

k

，整个运动过程中弹簧最多比原来增加

56(mgsinθ)2

9k

弹性势能．