题目

题型：安徽模拟难度：来源：

如图所示，一水平直轨道CF与半径为R的半圆轨道ABC在C点平滑连接，AC在竖直方向，B点与圆心等高．一轻弹簧左端固定在F处，右端与一个可视为质点的质量为m的小铁块甲相连．开始时，弹簧为原长，甲静止于D点．现将另一与甲完全相同的小铁块乙从圆轨道上B点由静止释放，到达D点与甲碰撞，并立即一起向左运动但不粘连，它们到达E点后再返回，结果乙恰回到C点．已知CD长为L₁，DE长为L₂，EC段均匀粗糙，ABC段和EF段均光滑，弹簧始终处于弹性限度内．
（1）求直轨道EC段与物块间动摩擦因素．
（2）要使乙返回时能通过最高点A，可在乙由C向D运动过程中过C点时，对乙加一水平向左恒力，至D点与甲碰撞前瞬间撤去此恒力，则该恒力至少多大？

答案

（1）设乙与甲碰前瞬间速度为v₁，碰后瞬间速度为v₂，甲乙一起返回到D时速度为v₃．
乙从B到D有 mgR-umgL1=

1

2

mv12  ①
碰撞过程由动量守恒得   mv₁=2mv₂ ②
甲乙从D到E再回到D有 -μ•2mg•2L2=

1

2

2mv32-

1

2

2mv22  ③
乙从D到C 有          -μmgL1=-

1

2

mv32  ④
联立解得 μ=

R

5L1+8L2

（2）设对乙加的最小恒力为F
从B到D有 mgR+FL1-μmgL1=

1

2

mv42  ⑤
碰撞过程由动量守恒得    mv₄=2mv₅ ⑥
甲乙从D到E再回到D有  -μ•2mg•2L2=

1

2

2mv62-

1

2

2mv52  ⑦
乙从D到A有  -mg•2R-μmgL1=

1

2

mvA2-

1

2

mv62  ⑧
在A点有      mg=

mvA2

R

  ⑨
联立⑤⑥⑦⑧⑨解得   F=

10mgR

L1

答：
（1）直轨道EC段与物块间动摩擦因素为

R

5L1+8L2

．
（2）要使乙返回时能通过最高点A，可在乙由C向D运动过程中过C点时，对乙加一水平向左恒力，至D点与甲碰撞前瞬间撤去此恒力，则该恒力至少为

10mgR

L1

．