题目

题型：同步题难度：来源：

神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律，天文学家观测河外星系大麦哲伦星云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．将两颗星视为质点，不考虑其他天体的影响，星A、B围绕二者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示，引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
(1)可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m"的星体（视为质点）对它的引力，设星A和星B的质量分别为m₁，m₂，试求m".（用m₁，m₂表示）
(2)求暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期  T和质量m₁之间的关系式．
(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m_s的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v=2.7×10⁵m/s，运行周期T=4.7π×10⁴ s，质量m₁=6m_s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？  (G=6.67×10^-11N.m²/kg²，m_s=2.0×10³⁰ kg)

答案

解：(1)设A，B两颗星的轨道半径分别为r₁，r₂，由题意知，A、B两颗星做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω
由牛顿运动定律，有F_A=  m₁ω²r₁，F_B=m₂ω²r₂，F_A= F_B
设A，B两颗星之间的距离为r，又r=r₁+r₂
由上述各式得r=①
由万有引力定律，有F_A=
将①代入得F_A=
令F_A=，比较可得m"=②
(2)由牛顿第二定律，有③
又可见星A的轨道半径r₁=④
由②③④式解得⑤
(3)将m₁=6m_s代入⑤式，得=
代入数据得⑥
设m₂=nm_s (n>0)，将其代入⑥式，得⑦
可见，的值随n的增大而增大，试令n=2，得⑧
若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m₂必大于2m_s，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞