题目

题型：不详难度：来源：

（1）试由万有引力定律推导：绕地球做圆周运动的人造卫星的周期T跟它轨道半径r的3/2次方成正比．
（2）A、B两颗人造卫星的绕地球做圆周运动，它们的圆轨道在同一平面内，周期之比是

T1

T2

=

3 3

2 2

．若两颗卫星的最近距离等于地球半径R，求这两颗卫星的周期各是多少？从两颗卫星相距最近开始计时到两颗卫星相距最远至少经过多少时间？已知在地面附近绕地球做圆周运动的卫星周期为T₀．

答案

（1）人造卫星绕地球做圆周运动，万有引力充当向心力：
G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r
解得：T=

2π

GM

r

3

2

地球质量M是常量，因此人造卫星绕地球运动的周期T与其轨道半径r的

3

2

次方成正比．
（2）设B卫星轨道半径为r₂，则A卫星轨道半径为r₁=r₂+R

T1

T2

=

(r2+R) 3 2

r 3 2 2

=

3 3

2 2

     ①
解得r₂=2R，r₁=3R
可得：

T1

T0

=

r 3 2 1

R 3 2

=3

3

T2

T0

=

r 3 2 2

R 3 2

=2

2

T₁=3

3

T0
T₂=2

2

T0
设A、B两卫星从相距最近开始经过时间t第一次达相距最远，有
（

2π

T2

-

2π

T1

）t=π   ②
解得时间t=

3 6 T0

3 3 -2 2

≈3.1T₀
答：（1）证明如上；
（2）这两颗卫星的周期分别是3

3

T0、2

2

T0；从两颗卫星相距最近开始计时到两颗卫星相距最远至少经过3.1T₀．