题目

题型：海淀区模拟难度：来源：

图（甲）所示，一对金属板M和N平行、竖直放置，M、N的中心分别有小孔P、Q，PQ连线垂直金属板．N板右侧有一半径为r的圆形有界的匀强磁场，其圆心O在PQ的延长线上，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B．置于P孔附近的粒子源连续不断地沿PQ方向放射出质量为m、电量为+q的带电粒子（带电粒子所受的重力、初速度及粒子间的相互作用力可忽略），从某一时刻开始，在板M、N间加上如图（乙）所示的交变电压，其周期为T、电压为U，t=0时M板电势高于N板电势．已知带电粒子在M、N两板间一直做加速运动的时间小于T/2，并且只有在每一个周期的前T/4时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出，求：
（1）带电粒子从小孔Q中射出的最大速度；
（2）M、N两板间的距离；
（3）在沿圆形磁场的边界上，有带电粒子射出的最大弧长．

答案

（1）在M、N电场间处于一直加速的粒子从小孔Q中射出的速度最大，设从最大速度为v_m
根据动能定理得 qU=

1

2

m

v

2m

解得：v_m=

2qU m

  
（2）设M、N两板间距离为d，则两板间的电场强度大小 E=

U

d

，
设粒子运动的加速度为a，根据牛顿第二定律得 qE=ma
解得：a=

qU

md

每一个周期的第一个

T

4

时刻放出的带电粒子刚好能从小孔Q中射出，它加速和减速各经历

T

4

，
由d=

1

2

a(

T

4

)2×2
解得：d=

T

4

qU m

（3）每一个周期的前

T

4

时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出，其中射出最早的粒子速度最大，越晚射出的粒子速度越小．粒子进入磁场，其中速度越小者运动半径越小，射出点离射入点越近，偏转角度越大（越接近π）．最早射入者速度最大，运动半径最大，偏转角度最小，射出点与入射点所夹弧长最大．
设带电粒子以最大速度射入时在磁场中的运动半径为R，偏转角为θ，由牛顿第二定律和几何关系得
 Bqv=m

v2

R

 tan

θ

2

=

r

R

解得：θ=2arctanBr

q 2mU

设沿圆形磁场边界上有带电粒子射出的最大弧长为s（图中实线部分），根据弧长公式
s=r（π-θ）=r（π-2arctanBr

q 2mU

）
答：
（1）带电粒子从小孔Q中射出的最大速度为

2qU m

；
（2）M、N两板间的距离为

T

4

qU m

；
（3）在沿圆形磁场的边界上，有带电粒子射出的最大弧长为r（π-2arctanBr

q 2mU

）．