题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，倾角θ=30°、长L=2.7m的斜面，底端与一个光滑的1/4圆弧平滑连接，圆弧底端切线水平．一个质量为m=1kg的质点从斜面最高点A沿斜面下滑，经过斜面底端B恰好到达圆弧最高点C，又从圆弧滑回，能上升到斜面上的D点，再由D点由斜面下滑沿圆弧上升，再滑回，这样往复运动，最后停在B点．已知质点与斜面间的动摩擦因数为μ=

3

/6，g=10m/s²，假设质点经过斜面与圆弧平滑连接处速率不变．求：
（1）质点第1次经过B点时对圆弧轨道的压力；
（2）质点从A到D的过程中质点下降的高度；
（3）质点从开始到第6次经过B点的过程中因与斜面摩擦而产生的热量．

答案

（1）设圆弧的半径为R，则质点从C到B过程，由

mgR= 1 2 mυ2 FN-mg=m υ2 R

得：F_N=3mg=3×1×10N=30N  
根据牛顿第三定律，质点第1次经过B点对圆弧轨道的压力为30N．
（2）设质点第一次由B点沿斜面上滑的速度为υ₁，B点到D点的距离为L₁

mgLsin30o-μmgcos30oL= 1 2 m υ 21 -mgL1sin30o-μmgcos30oL1=0- 1 2 m υ 21

代入数据解得：L1=

1

3

L=0.9m  
则质点从A点到D点下降的高度h=0.9m  
（3）设质点第2次由B点沿斜面上滑的速度为υ₂，沿斜面上滑的距离为L₂．则

mgL1sin30o-μmgcos30oL1= 1 2 m υ 22 -mgL2sin30o-μmgcos30oL2=0- 1 2 m υ 22

得：L2=

1

3

L1
同理可推得：质点第n次由B点沿斜面上滑的距离L_n为Ln=

1

3

Ln-1=(

1

3

)nL
所以质点从开始到第6次经过B点的过程中，在斜面上通过的路程为
S=L+2（L₁+L₂）=5.1m  
Q=μmgcos30°S=12.75J   
答：（1）质点第1次经过B点时对圆弧轨道的压力为30N．
（2）质点从A到D的过程中质点下降的高度为0.9m．
（3）质点从开始到第6次经过B点的过程中因与斜面摩擦而产生的热量为12.75J．