题目

题型：不详难度：来源：

如图所示（甲），一辆汽车车厢右端放一质量为m的木箱（可视为质点），汽车车厢底板总长L=9m，汽车车厢底板距离地面的高度H=5m，木箱与汽车车厢底板间的动摩擦因数µ=0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s²（计算结果保留三位有效数字）．



（1）若汽车从静止开始启动，为了保证启动过程中木箱和汽车车厢底板间不发生相对滑动，求汽车的最大加速度a；
（2）若汽车由静止开始以a₀=6m/s²的加速度匀加速行驶，求木箱落到地面上时距离车厢左端的水平距离（木箱离开车厢后竖直方向为自由落体）；
（3）若汽车从静止开始一直以（2）中加速度加速运动，为了防止木箱从车厢左端滑出，在车厢左端处安装一只长度可忽略的轻弹簧（如图乙所示），此时弹簧处于压缩状态并被锁定．每次当木箱滑至左端与弹簧发生碰撞时，弹簧都将自动解锁，并都以碰前瞬间木箱速率（相对于车）的2倍速率（相对于车）将木箱弹出，同时又将弹簧压缩并重新锁定．如此反复，通过多次碰撞最终使木箱静止于车厢内，试求木箱在车厢内滑行的总路程．
（已知：当0＜A＜1，n→+∞时，A+A2+A3+K+An=

A

1-A

；）

答案

（1）木箱和车厢恰好不发生相对滑动时，加速度最大，则由根据牛顿第二定律得
   μmg=ma
解得，a=μg=4m/s²．
（2）设木箱在车厢上滑动的时间为t，则有
  L=

1

2

a0t2-

1

2

at2
得 t=

2L a0-a

=3s
木箱离开汽车时的速度大小为v=at=12m/s，汽车此时的速度为V=a₀t=18m/s
木箱离开车厢后做平抛运动，则有
  H=

1

2

gt′2
解得，t′=1s
所以s=（Vt′+

1

2

a0t′2）-vt′=9m
（3）当木箱相对于车向左滑动时相对于车的加速度大小为a_相=a₀-a₀=2m/s²，
设木箱滑到车厢的左端时相对车的速度为v₁．
由

v

21

=2a相L  ①
弹簧将木箱弹出时，木箱相对于车向右滑动时，木箱相对于车厢的加速度大小为
 a_相′=a+a₀=10m/s²，木箱相对于车向右做匀减速运动，设向右滑行至距离左端L₁处停止，则有
   （2v₁）²=2a_相′L₁   ②
由①②得，L₁=0.8L
设第二次碰到弹簧前的速度大小为v₂，则有
 

v

22

=2a相L1  ③
设第二次向右滑行至距离左端L₂处停止，则有
(2v2)2=2a_相′L₂   ④
由③④得，L₂=0.8L₁=0.8²L
  …
根据递推规律可知，设木箱第n次与弹簧碰撞后向右滑行的距离为L_n．
 Ln=(0.8)nL
故木箱在车厢内滑行的总路程为
 S=L+2×0.8L+2×0.8²L+…+2（0.8）ⁿL
其中n→∞
由题意知，S=L+2

0.8

1-0.8

L=9L=81m．
答：
（1）汽车的最大加速度a是4m/s²；
（2）木箱落到地面上时距离车厢左端的水平距离是9m．
（3）木箱在车厢内滑行的总路程是81m．