题目

题型：上海二模难度：来源：

我国北方常遭遇严重的沙尘暴天气．所谓沙尘暴可简化为如下情景：快速向上刮起的大风将大量沙尘颗粒扬起后悬浮在空中，可视为这时风对沙尘的作用力与沙尘的重力平衡．已知风对沙尘粒作用力大小的可近似表达为 f=

1

2

ρπr² v ²，式中ρ_空为空气密度，r为沙尘粒的半径（沙尘粒可近似看成球体，且体积V=

4

3

πr³），v为风速．如果沙尘粒的密度ρ_沙=3×10³kg/m³，沙尘粒的半径r=2.5×10^-4m，地面的空气密度ρ_空=1.25kg/m³，若空气密度ρ_空 随地面高度h的变化关系为每升高1km，空气密度减少0.2kg/m³（g取10m/s²）．求：
（1）要形成沙尘暴现象，地面的风速至少为多少？
（2）当地面风速为8m/s时，沙尘暴的最大高度为多少？

答案

（1）沙尘颗粒受重力G=mg=ρ_沙Vg=ρ_沙

4

3

πr³g与空气作用力为f=

1

2

πρ_空r²v²作用而平衡，
在地面附近空气密度ρ₀=1.25kg/m³，由平衡条件得：ρ_沙

4

3

πr³g=

1

2

ρ_空πr²v²，
则v=

8ρ沙rg 3ρ空

=

8×3×103kg/m3×2.5×10-4m×10N/kg 3×1.25kg/m3

=4m/s；
（2）当风速v=8m/s时，由ρ_沙

4

3

πr³g=

1

2

ρ_空′πr²v²，得：

其中ρ_空′=ρ_空-kh 

故h=

ρ空

k

-

8ρ沙rg

3v2

=

1.25

0.2

km-

8×3×103×2.5×10-4×10

3×82

km=4.7km
答：（1）要形成沙尘暴现象，地面的风速至少为4m/s；
（2）当地面风速为8m/s时，沙尘暴的最大高度为4.7km．