题目

题型：北京难度：来源：

用密度为d、电阻率为ρ、横截面积为A的薄金属条制成边长为L的闭合正方形框abb′a′．如图所示，金属方框水平放在磁极的狭缝间，方框平面与磁场方向平行．设匀强磁场仅存在于相对磁极之间，其他地方的磁场忽略不计．可认为方框的aa′边和bb′边都处在磁极间，极间磁感应强度大小为B．方框从静止开始释放，其平面在下落过程中保持水平（不计空气阻力）．
（1）求方框下落的最大速度v_m（设磁场区域在竖直方向足够长）；
（2）当方框下落的加速度为

g

2

时，求方框的发热功率P；
（3）已知方框下落的时间为t时，下落的高度为h，其速度为v_t（v_t＜v_m）．若在同一时间t内，方框内产生的热与一恒定电流I₀在该框内产生的热相同，求恒定电流I₀的表达式．

答案

（1）方框质量    m=4LAd
方框电阻            R=ρ

4L

A

方框下落速度为v时，产生的感应电动势  E=B•2Lv
感应电流              I=

E

R

=

BAv

2ρ

方框下落过程，受到重力G及安培力F，
G=mg=4LAdg，方向竖直向下
安培力F=BI•2L=

B2AL

ρ

v，方向竖直向上
当F=G时，方框达到最大速度，即v=v_m
则           

B2AL

ρ

vm=4LAdg
方框下落的最大速度    vm=

4ρd

B2

g
（2）方框下落加速度为

g

2

时，根据牛顿第二定律有
mg-BI•2L=m

g

2

，
则                I=

mg

4BL

=

Adg

B

方框的发热功率   P=I2R=

4ρALd2g2

B2

（3）根据能量守恒定律，方框重力势能转化动能和电流产生的热量，所以有
 mgh=

1

2

m

v

2t

+

I

20

Rt
I0=

m Rt (gh- 1 2 v 2t )

解得：恒定电流I₀的表达式     I0=A

d ρt (gh- 1 2 v 2t )

答：（1）求方框下落的最大速度为

4ρd

B2

g；
（2）方框的发热功率P是

4ρALd2g2

B2

；
（3）恒定电流I₀的表达式为 A

d ρt (gh- 1 2 v 2t )

．