题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，固定的凹槽水平表面光滑，其内放置U形滑板N，滑板两端为半径R=0.45m的1/4圆弧面．A和D分别是圆弧的端点，BC段表面粗糙，其余段表面光滑．小滑块P₁和P₂的质量均为m．滑板的质量M=4m，P₁和P₂与BC面的动摩擦因数分别为μ₁=0.10和μ₂=0.40，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．开始时滑板紧靠槽的左端，P₂静止在粗糙面的B点，P₁以v₀=4.0m/s的初速度从A点沿弧面自由滑下，与P₂发生弹性碰撞后，P₁处在粗糙面B点上．当P₂滑到C点时，滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连，P₂继续运动，到达D点时速度为零．P₁与P₂视为质点，取g=10m/s²．问：
（1）P₂在BC段向右滑动时，滑板的加速度为多大？
（2）BC长度为多少？N、P₁和P₂最终静止后，P₁与P₂间的距离为多少？

答案

（1）P₁滑到最低点速度为v₁，由机械能守恒定律有：

1

2

m

v

20

+mgR=

1

2

m

v

21

解得：v₁=5m/s
P₁、P₂碰撞，满足动量守恒，机械能守恒定律，设碰后速度分别为v′₁、v′₂
则由动量守恒和机械能守恒可得：
mv₁=mv′₁+mv′₂

1

2

m

v

21

=

1

2

mv

′

21

+

1

2

mv

′

22

解得：v′₁=0、v′₂=5m/s
P₂向右滑动时，假设P₁保持不动，对P₂有：f₂=μ₂mg=4m（向左）
对P₁、M有：f=（m+M）a₂
a2=

f

m+M

=

4m

5m

=0.8m/s2
此时对P₁有：f₁=ma=0.80m＜f_m=1.0m，所以假设成立．
故滑块的加速度为0.8m/s²；
（2）P₂滑到C点速度为v₂′，由mgR=

1

2

mv

′

22

得v′₂=3m/s
P₁、P₂碰撞到P₂滑到C点时，设P₁、M速度为v，对动量守恒定律：mv₂=（m+M）v+mv′₂
解得：v=0.40m/s
对P₁、P₂、M为系统：f2L=

1

2

m

v

22

-

1

2

mv′22+

1

2

(m+M)v2
代入数值得：L=1.9m
滑板碰后，P₁向右滑行距离：S1=

v2

2a1

=0.08m
P₂向左滑行距离：S2=

v ′ 22

2a2

=1.125m
所以P₁、P₂静止后距离：△S=L-S₁-S₂=0.695m
故最后两物体相距0.695m．