题目

题型：难度：来源：

【题文】已知，
(1)求函数的单调区间；
(2)求证：当时，．

答案

【答案】（1）当，函数的单调区间为,当，函数的的单调增区间，减区间;(2)证明见解析．

解析

【解析】
试题分析：（1）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（2）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到．(3)对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）（2）．
试题解析：解：（1）
若时，恒成立
函数的单调区间为
若时，令，得；，
函数的的单调增区间，减区间
证明：设
故

，
在上为增函数．
又在上连续，，
在(1，＋∞)上恒成立．．
所以当时，．
考点：（1）利用导数求函数的单调区间；（2）利用导数证明恒成立的问题．