题目

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【题文】（12分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（2）＝1.
（1）求证：f（8）＝3
（2）求不等式f（x）－f（x－2）>3的解集.

答案

【答案】（1）见证明；（2）.

解析

【解析】
试题分析：（1）由f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（2）＝1.所以f（8）＝f（4×）＝f（4）＋f（2）＝f（2×2）＋f（2）＝f（2）＋f（2）＋f（2）＝3f（2）=32
（2）原不等式可化为f（x）>f（x－2）+3，由（1）得f（8）＝3，所以由条件可得f（x）>f（x－2）＋f（8）＝f（8x－16）∵f（x）是（0，+∞）上的增函数∴解不等式可得.
试题解析: （1）证明 ：由题意得f（8）＝f（4×2）＝f（4）＋f（2）＝f（2×2）＋f（2）＝
f（2）＋f（2）＋f（2）＝3f（2）
又∵f（2）＝1       ∴f（8）＝3
（2）解： 原不等式可化为f（x）>f（x－2）+3
∵f（8）＝3    ∴f（x）>f（x－2）＋f（8）＝f（8x－16）
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数
∴解得.
考点：抽象函数赋值法和解不等式.