题目

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【题文】已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有.
（1）判断的单调性，并证明；
（2）若对所有,恒成立，求实数t的取值范围．

答案

【答案】（1）见解析；（2）t≤－2，或t＝0，或t≥2.

解析

【解析】
试题分析：（1）用定义证明函数的单调性关键是要注意自变量的取值是任意的以及作差、变形、判号.（2）若对可导函数的求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.对于恒成立的问题，常用到以下两个结论?，?.
试题解析：（1）任取∈[－1,1]，且，则
，
∴，∴是增函数．   
（2）由于为增函数，∴的最大值为，
∴对恒成立?对任意恒成立?对任意恒成立．把看作的函数，
由知其图象是一条线段，
∴对任意恒成立
.
考点：函数性质的应用.