题目

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【题文】已知函数．
（1）当x∈[0，4]时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若x∈[0，4]，使≥0成立，求实数a的取值范围．

答案

【答案】（1）f（x）_min＝－，f（x）_max＝170；（2）（－∞，]

解析

【解析】试题分析：（1）将f（x）转化为关于2^x的二次函数，在限定区间上讨论单调性并求最值；（2）分离参数a，使之成为a≤g（t）恒成立的形式，求参数a的取值范围.
试题解析：（1）∵f（x）＝（2^x）²－5·2^x－6
设2^x＝t，∵x∈[0，4]，则t∈[1，16]
∴f（x）＝h（t）＝t²－5t－6，t∈[1，16]
∵当t∈[1，]时函数单调递减；当t∈[，16]时函数单调递增
∴f（x）_min＝h（）＝－，f（x）_max＝h（16）＝170即为所求最大值和最小值.
（2）∵f（x）＋12－a·2^x≥0恒成立，而t＝2^x＞0
∴存在t∈[1，16]使得a≤t＋－5成立
令g（t）＝t＋－5在[1，]上递减，在[，16]上递增
而g（1）＝2＜g（16）＝
∴g（t）_max＝g（16）＝
∴a≤g（t）_max＝g（16）＝
∴a的取值范围是（－∞，]
考点：指数函数，二次函数的单调性，函数的最值，不等式恒成立问题，换元法