题目
题型:0103 模拟题难度:来源:
a1=4,(n∈N*);
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和, 试比较Sn与6n2-2的大小。
答案
,
∵y=f(x)是定义在R上的单调减函数,
∴,即,
∴数列是以为首项,1为公差的等差数列,
∴,
即an=。
(Ⅱ)Sn=a1+a2+a3+···+an =4(1+31+32+···+3n-1)=2(3n-1) ,
当n=1时,有Sn=6n2-2=4;
当n=2时,有Sn=16<6n2-2=22;
当n=3时,有Sn=6n2-2=52;
当n=4时,有Sn=160>6n2-2=94;
当n=5时,有Sn=484>6n2-2=148。
由此猜想当n≥4时, 有Sn>6n2-23n-1>n2,
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时显然成立;
②假设当n=k(k≥4,k∈N*)时, 有3k-1>k2;
当n=k+1时,有3k=3·3k-1>3k2,
∵k≥4,
∴k(k-1)≥12, ∴3k2-(k-1)2=2k(k-1)-1>0即3k2>(k+1)2,
∴3k>3k2>(k+1)2, ∴3k>(k+1)2,因此当n=k+1时原式成立。
由①②可知,当n≥4时有3n-1>n2,
即Sn>6n2-2,
综上可知当n=1,3时,有Sn=6n2-2;当n=2时,有Sn<6n2-2;当n≥4时,有Sn>6n2-2。
核心考点
试题【设f(x) 是定义在R上的减函数,满足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(0)=1,数列{an} 满足a1=4,(n∈N*);(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;】;主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列中,,,证明:。
(Ⅰ)求,并猜想数列的通项公式(不必证明);
(Ⅱ)证明:当时,数列不是等比数列;
(Ⅲ)当时,试比较与的大小,证明你的结论。
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为,求证:当时,;
(3)求证:当时,。
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