题目

题型：0103 期末题难度：来源：

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=1-b_n。
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较与S_n+1的大小，并说明理由。

答案

解：（1）由，
又∵的公差d大于0，
∴，
从而，，
∴。
又已知，令n=1，得，∴，
由，当n≥2时，，
两式相减，得，（n≥2），
∴。
（2）∵，
∴，，
以下比较与的大小：
当n=1时，，；
当n=2时，，；
当n=3时，，；
当n=4时，，；
猜想：n≥4时，，
下面用数学归纳法证明：
①当n=4时，已证；
②假设n=k（k∈N*，k≥4）时，，即，
那么，n=k+1时，

，
∴n=k+1时，也成立，
由①②可知，n∈N*，n≥4时，；
综上所述，当n=1，2，3时，；当n≥4时，。