题目

题型：期末题难度：来源：

已知，．
（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．

答案

解：（1）当n=1时，f（1）=1，，f（1）＞g（1），
当n=2时，，，f（2）＞g（2），
当n=3时，，g（3）=2，f（3）＞g（3）．
（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N*），即．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，上面已证．
②假设当n=k时，猜想成立，即
则当n=k+1时，=；
而，
下面转化为证明：
只要证：，
需证：（2k+3）²＞4（k+2）（k+1），
即证：4k²+12k+9＞4k²+12k+8，此式显然成立．
所以，当n=k+1时猜想也成立．
综上可知：对n∈N*，猜想都成立，即成立．