题目

题型：沈阳模拟难度：来源：

已知α₁，α₂，…α_n∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n．

答案

证明：下面用数学归纳法证明
（1）n=2时，|sin（α₁+α₂）|-|sinα₁cosα₂+cosα₁sinα₂|≤sinα₁|cosα₂|+|cosα₁|•|sinα₂|＜sinα₁+sinα₂，
所以n=2时成立．
（2）假设n=k（k≥2）时成立，即
|sin（α₁+α₂+Λ+α_k）|＜sinα₁+sinα₂+Λ+sinα_k
当n=k+1时，|sin（α₁+α₂+Λ+α_k+1）|=
=|sinα_k+1cos（α₁+Λα_k）+cosα_k+1sin（α₁+Λα_k）|
≤sinα_k+1|cos（α₁+Λ+α_k）|+|cosα_k+1|•|sin（α₁+Λα_k）|
＜sinα_k+1+|sin（α₁+Λα_k）|
＜sinα₁+sinα₂+Λ+sinα_k+1
∴n=k+1时也成立．
由（1）（2）得，原式成立．