题目

题型：不详难度：来源：

、（本题12分）如图,设抛物线C₁:, C₂:,C₁与C₂的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.
 
小题1:（1）求的值及点B的坐标； 
小题2:（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG.记过C₂顶点Ｍ的直线为,且与x轴交于点N.
① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1, 2)，求点N的横坐标；
② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.

答案

小题1:解：（1）∵ 点A在抛物线C₁上，∴ 把点A坐标代入得 =1. 
∴ 抛物线C₁的解析式为,
设B(－2,b)， ∴ b＝－4,  ∴ B(－2,－4) .    
小题2:
（2）①如图1，
∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH="5."
过点G作GE⊥DH,垂足为E,
由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1，
∴ ME＝4.                        设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1,
由△MEG∽△MHN,得 ,
∴ ,   ∴ ,
∴ 点N的横坐标为．        
② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，
直线与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．
过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F, 设Ｎ（x，0），
∵ A (2, 4),    ∴ G (, 2),
∴ NQ=，ＮF =, GQ="2," MF =5.
∵ △NGQ∽△NMF，
∴ ,
∴ ,
∴ .          
当点D移到与点B重合时,如图3，直线与DG交于点D,即点B,
此时点N的横坐标最小.
∵ B(－2, －4),    ∴ H(－2, 0), D(－2, －4),
设N（x，0），
∵ △BHN∽△MFN， ∴ ，
∴ ,   ∴ .  ∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤且x≠0. 

解析

略