题目
题型:沅江市模拟难度:来源:
n |
n-1 |
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=
3n-1 |
an |
(3)令cn=
an+1 |
n+1 |
2cn |
(cn-1)2 |
答案
n |
n-1 |
an |
n |
an-1 |
n-1 |
由累加法,当n≥2时,
an |
n |
a1 |
1 |
代入a1=1,得n≥2时,
an |
n |
2(1-3n-1) |
1-3 |
又a1=1,故an=n•3n-1(n∈N*).
(2)n∈N*时,bn=
3n-1 |
an |
1 |
n |
方法1:当n=1时,S21=1+
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
当n=3时,S23=1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
5 |
1 |
6 |
1 |
7 |
1 |
8 |
猜想当n≥3时,S2n<n.
下面用数学归纳法证明:
①当n=3时,由上可知S23 <3成立;
②假设:n=k(k≥3)时,上式成立,即1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2k |
当n=k+1时,左边=1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2k |
1 |
2k+1 |
1 |
2k+1 |
1 |
2k+1 |
1 |
2k+1 |
2k |
2k+1 |
所以当n=k+1时成立.
由①②可知当n≥3,n∈N*时,S2n<n.
综上所述:当n=1时,S21>1;当n=2时,S22>2;
当n≥3(n∈N*)时,S2n<n.
方法2:S2n=1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2n |
记函数f(n)=S2n-n=(1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2n |
所以f(n+1)=(1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2n+1 |
则f(n+1)-f(n)=(
1 |
2n+1 |
1 |
2n+2 |
1 |
2n+1 |
2n |
2n+1 |
所以f(n+1)<f(n).
由于f(1)=S21-1=(1+
1 |
2 |
f(2)=S22-2=(1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
f(3)=S23-3=(1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
5 |
1 |
6 |
1 |
7 |
1 |
8 |
由于,f(n+1)<f(n),故n≥3时,f(n)≤f(3)<0,此时S2n<n.
综上所述:当n=1,2时,S2n>n;当n≥3(n∈N*)时,S2n<n.
(3)cn=
an+1 |
n+1 |
当n≥2时,
2×3n |
(3n-1)2 |
2×3n |
(3n-1)(3n-3) |
2×3n-1 |
(3n-1)(3n-1-1) |
1 |
3n-1-1 |
1 |
3n-1 |
所以当n≥2时,Tn=
3 |
2 |
2×32 |
(32-1)2 |
2×3n |
(3n-1)2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
32-1 |
1 |
32-1 |
1 |
33-1 |
1 |
3n-1-1 |
1 |
3n-1 |
1 |
3n-1 |
且T1=
3 |
2 |
核心考点
试题【已知数列{an}中,a1=1,且an=nn-1an-1+2n•3n-2(n≥2,n∈N∗).(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=3n-1an (n∈N】;主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求a3的取值范围;
(2)用数学归纳法证明:|an-(
2 |
1 |
2n |
(3)若bn=
1 |
an |
2 |
12 |
2n |
| ||
2 |
|
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
2n-1 |
1 |
2n |
1 |
n+1 |
1 |
n+2 |
1 |
2n |
1 |
x1 |
1 |
x2 |
1 |
x1 |
1 |
x2 |
1 |
x3 |
请你猜测(x1+x2+…+xn)(
1 |
x1 |
1 |
x2 |
1 |
xn |
用数学归纳法证明不等式:(且)
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