题目

题型：不详难度：来源：

已知x，y，z∈R⁺，求证：
（1）（x+y+z）³≥27xyz；  
（2）(

x

y

+

y

z

+

z

x

)(

y

x

+

z

y

+

x

z

)≥9；  
（3）（x+y+z）（x²+y²+z²）≥9xyz．

答案

证明：（1）∵x，y，z∈R⁺，∴x+y+z≥3

3	xyz

，当且仅当x=y=z时，取等号，∴（x+y+z）³≥27xyz；  
（2）∵x，y，z∈R⁺，∴

x

y

+

y

z

+

z

x

≥3

3	x y ? y z ? z x

=3，

y

x

+

z

y

+

x

z

≥3

3	y x ? z y ? x z

=3，当且仅当x=y=z时，取等号，
∴两式相乘，可得(

x

y

+

y

z

+

z

x

)(

y

x

+

z

y

+

x

z

)≥9；
（3））∵x，y，z∈R⁺，∴x+y+z≥3

3	xyz

，x²+y²+z²≥3

3	x2y2z2

，当且仅当x=y=z时，取等号，
∴两式相乘可得（x+y+z）（x²+y²+z²）≥9xyz．