题目

题型：不详难度：来源：

已知正数a，b，c满足a+b+c=1证明  a3+b3+c3≥

a2+b2+c2

3

．

答案

证明：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，要证 a3+b3+c3≥

a2+b2+c2

3

，
只要证   3a³+3b³+3c³-a²-b²-c²≥0，
只要证   2（a³+b³+c³ ）+a²（a-1）+b²（b-1）+c²（c-1）≥0，
只要证   2（a³+b³+c³ ）+a²（-b-c）+b²（-a-c）+c²（-a-b）≥0，
只要证   a³+b³+c³+a³+b³+c³-a²b-a²c-b²a-b²c-c²a-c²b≥0，
只要证   a² （a-b）+a²（a-c）+b²（b-a）+b²（b-c）+c²（c-a）+c²（c-b）≥0，
只要证   （a-b）（a²-b²）+（b-c） （b²-c²）+（c-a）（c²-a²）≥0，
只要证   （a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（c+a） （c-a）²≥0，
而由题意可知  （a+b）（a-b）²+（b+c）（b-c）²+（c+a） （c-a）²≥0  成立，故要证的不等式成立．