题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）用一块长为a，宽为b (a＞b)的矩形木块，在二面角为 (0＜＜)的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓(使木板垂直于地面，两边与墙面贴紧，另一边与地面贴紧)，试问怎样围才能使储物仓的容积最大？并求出这个最大值．

答案

最大值为a²b cot．

解析

（1）若使矩形木板长边贴紧地面，即AB =" CD" = a，AD =" BC" = b，设PA = x，PB = y，则a² = x² + y² – 2xy cos≥2xy – 2xy cos．∴xy≤ (当且仅当x = y时取等号) ．…5分
这时容积V₁ = (xy sin)·b≤ = a²b cot．……8分
（2）若使矩形木板短边贴紧地面，则同理可得xy ≤．这时容积V₂ = (xy sin)·a ≤ab² cot ∵a＞b＞0，cot＞0 ∴V₁＞V₂．……12分