题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=，g(x)=.
（1）证明f(x)满足f(-x)=-f(x),并求f(x）的单调区间；
（2）分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.

答案

（1）证明见解析（2）f(x²)-5f(x)g(x)=0

解析

（1）证明 f（-x）==-f(x),
设x₁＞x₂＞0,由于y=x在R上递增，∴x＞x.又(x₁x₂)^-＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x-x₁-x₂+）=＞0.
即f(x)在（0，+∞）上递增.
同理f(x)在（-∞,0)上也递增.
故f(x)在（-∞,0)和（0，+∞）上单调递增.
（2）解 f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,
且f(x²)-5f(x)g(x)=0.
证明如下：
f(x²)-5f(x)g(x)=