题目

题型：不详难度：来源：

甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数，，及任意的，当甲公司投入万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险. 设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：
(1)请解释；
(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？
(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入万元，乙在上述策略下，投入最少费用；而甲根据乙的情况，调整宣传费为；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为如此得当甲调整宣传费为时，乙调整宣传费为；试问是否存在，的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由.

答案

⑴=8， =12，⑵甲公司至少投入17万元,乙公司至少投入25万元.⑶点M (17, 25) 是双方在宣传投入上保证自己不失败的一个平衡点.

解析

(1)表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败风险,至少要投入=8万元;         …………………… (2分)
表示当乙公司不投入宣传费时, 甲公司要回避失败风险,至少要投入  =12万元.             …………………………… (4分)
(2) 解方程组
    ………………(6分)
得:  x =" 17," y =" 25 " ……………(9分)  
故甲公司至少投入17万元,乙公司至少投入25万元. …… (11分)
(3) 经观察, 显见 .
故点M (17, 25) 是双方在宣传投入上保证自己不失败的一个平衡点. ………(16分)