题目
题型:不详难度:来源:
(1)当时,证明函数只有一个零点;
(2)若函数在区间上是减函数,求实数的取值范围
答案
(1) 略.
(2)
解析
∴ ………………………2分
令,即,解得或.
,∴ 舍去. …………………3分
当时,;当时,.
∴ 函数在区间上单调递增,在区间上单调递减
∴ 当x =1时,函数取得最大值,其值为.
当时,,即.
∴ 函数只有一个零点. ………………………6分
(Ⅱ)显然函数的定义域为
∴ ……………7分
①当时,在区间
上为增函数,不合题意………9分
②当时,等价于,即
此时的单调递减区间为.
依题意,得解之得. …………………9分
当时,等价于,即
此时的单调递减区间为,
∴ 得 ………………………11分
综上,实数的取值范围是
………………………12分
法二:
①当时,
在区间上为增函数,不合题意……………7分
②当时,要使函数在区间上是减函数,
只需在区间上恒成立,只要恒成立,
解得或 ………………………11分
综上,实数的取值范围是
………………………12分
核心考点
举一反三
已知函数,且对于任意R,恒有
(1)证明:;
(2)设函数满足:,证明:函数在内没有零点.
某公司2009年9月投资14400万元购得上海世界博览会某种纪念品的专利权及生产设备,生产周期为一年.已知生产每件纪念品还需要材料等其它费用20元,为保证有一定的利润,公司决定纪念品的销售单价不低于150元,进一步的市场调研还发现:该纪念品的销售单价定在150元到250元之间较为合理(含150元及250元).并且当销售单价定为150元时,预测年销售量为150万件;当销售单价超过150元但不超过200元时,预测每件纪念品的销售价格每增加1元,年销售量将减少1万件;当销售单价超过200元但不超过250元时,预测每件纪念品的销售价格每增加1元,年销售量将减少1.2万件.
根据市场调研结果,设该纪念品的销售单价为(元),年销售量为(万件),平均每件纪念品的利润为(元).
⑴求年销售量为关于销售单价的函数关系式;
⑵该公司考虑到消费者的利益,决定销售单价不超过200元,问销售单价为多少时,平均每件纪念品的利润最大?
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