题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)＝3 000x－20x²，C(x)＝500x＋4 000(x∈N^*)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．
(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)；
(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．

答案

(1)MP(x)＝2 480－40x；(2)利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680。

解析

试题分析：（I）由“利润等于收入与成本之差．”可求得利润函数p（x），由“边际函数为Mf（x），定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得边际函数；
（II）由二次函数法研究p（x）的最大值，由一次函数法研究Mp（x），对照结果即可．
(1)由题意，得x∈[1,100]，且x∈N^*.
P(x)＝R(x)－C(x)
＝(3 000x－20x²)－(500x＋4 000)
＝－20x²＋2 500x－4 000，…………………….3分
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)²＋2 500(x＋1)－4 000]－(－20x²＋2 500x－4 000)＝2 480－40x……………………..8分
(2)P(x)＝－20(x－)²＋74 125，
当x＝62或x＝63时，P(x)取得最大值74 120；
因为MP(x)＝2 480－40x是减函数，
所以当x＝1时，MP(x)取得最大值2 440.
故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680………………..12分
点评：解决该试题的关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．同时能结合二次函数的性质得到相应的最值的求解。