题目

题型：不详难度：来源：

已知在区间上是增函数，实数a组成几何A，设关于x的方程的两个非零实根，实数m使得不等式使得对任意及恒成立，则m的解集是（    ）

A．	B．
C．	D．

答案

A

解析

试题分析：∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f"（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．①
设φ（x）=x²-ax-2，
方法一：①⇔φ(1)=1-a-2≤0且φ(-1)=1+a-2≤0⇔-1≤a≤1，
∵对x∈[-1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f"（-1）=0以及当a=-1时，f"（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
方法二：
①⇔，φ(-1)=1+a-2≤0或，φ(1)=1-a-2≤0⇔0≤a≤1或-1≤a≤0
⇔-1≤a≤1．
∵对x∈[-1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f"（-1）=0以及当a=-1时，f"（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
由=，得x²-ax-2=0，∵△=a²+8＞0，∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两非零实根，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，从而|x₁-x₂|===∵-1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3．
要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立．②
设g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
方法一：
②⇔g（-1）=m²-m-2≥0，g（1）=m²+m-2≥0，
⇔m≥2或m≤-2．
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
②⇔m＞0，g（-1）=m²-m-2≥0或m＜0，g（1）=m²+m-2≥0
⇔m≥2或m≤-2．
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．
点评：解决该试题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系写出不等式先看成关于a的不等式恒成立再看成关于t的一次不等式恒成立，让两端点大等于零，以及函数单调递增导数大于等于零列出不等式解之