题目

题型：不详难度：来源：

为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为
y=
且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿.
(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?
(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

答案

(1) 国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损
(2) 当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.

解析

(1)该项目不会获利.
当x∈[200,300]时,设该项目获利为S,
则S=200x-(x²-200x+80000)
=-x²+400x-80000=-(x-400)²,
所以当x∈[200,300]时,S<0,因此该项目不会获利.
当x=300时,S取得最大值-5000,
所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.
(2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为:
=
①当x∈[120,144)时,
=x²-80x+5040=(x-120)²+240,
所以当x=120时,取得最小值240.
②当x∈[144,500]时,=x+-200≥
2-200=200,
当且仅当x=,
即x=400时,取得最小值200.
因为200<240,所以当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.