题目

题型：不详难度：来源：

设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标保持不变的伸缩变换．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．

答案

（Ⅰ）由条件得矩阵（Ⅱ）是矩阵M属于特征值的一个特征向量，是矩阵M属于特征值 的一个特征向量．

解析

(1)易求.
(2)由矩阵M，可知其特征多项式为,然后利用,可解出的特征值，有两个值，然后分别求其特征向量即可
（Ⅱ）因为矩阵的特征多项式为，
令，解得特征值为，，
设属于特征值的矩阵M的一个特征向量为，则，解得，取，得， 同理，对于特征值，解得，取，得， 6分
所以是矩阵M属于特征值的一个特征向量，是矩阵M属于特征值 的一个特征向量．