题目

题型：安徽省期中题难度：来源：

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根； ②函数f（x）的导数f"（x）满足0＜f"（x）＜1．”
（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于
任意[m，n]D，都存在x₀∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f"（x₀）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根．

答案

解：（I）因为，
所以满足条件0＜f"（x）＜1，
又因为当x=0时，f（0）=0，
所以方程f（x）﹣x=0有实数根0．
所以函数是集合M中的元素．
（II）证明：假设方程f（x）﹣x=0存在两个实数根α，β（α≠β），
则f（α）﹣α=0，f（β）﹣β=0不妨设α＜β，
根据题意存在数c∈（α，β），使得等式f（β）﹣f（α）=（β﹣α）f"（c）成立
因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f"（c）=1与已知0＜f"（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）﹣x=0只有一个实数根．