题目

题型：不详难度：来源：

设a，b均为正数，
（Ⅰ）求证：

ab

≥

2

1 a + 1 b

；
（Ⅱ）如果依次称

a+b

2

、

ab

、

2

1 a + 1 b

分别为a，b两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数．如右图，C为线段AB上的点，令AC=a，CB=b，O为AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，请分别用图中线段的长度来表示a，b两数的几何平均数和调和平均数，并说明理由．

答案

（I）证明：由于a，b均为正数，根据基本不等式，可得

1 a + 1 b

2

≥

1 a × 1 b

=

1

ab

，即

ab

≥

2

1 a + 1 b

，
当且仅当a=b时，等号成立．
（II）在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD²=AC•CB，
∴CD=

ab

，即CD长度为a，b的几何平均数，
在直角三角形OCD中，由射影定理可得CD²=DE•OD，
∴DE=

DC2

OD

=

ab

a+b 2

=

2

1 a + 1 b

，由DC≥DE，得

ab

≥

2

1 a + 1 b

，当且仅当a=b时，等号成立，
∴线段DE的长度分别为a，b的调和平均数．