题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:平面平面;
(2)若二面角为直二面角,求直线与平面所成的角的正弦值.
答案
解析
试题分析:本题主要以多面体为几何背景,考查线线平行、线线垂直、线面平行、面面平行、二面角、线面角等数学知识,考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力、计算能力.第一问,因为BFED为矩形,所以BF//DE,利用线面平行的判定得BF//平面AED,因为ABCD为棱形,所以BC//AD,利用线面平行的判定,得BC//平面ADE,再利用面面平行的判定,得平面FBC//平面EDA;第二问,利用线面垂直的性质,利用平行线、利用棱形、矩形的性质,得,,从而得出是二面角的平面角,且,法一:先利用四边形ADBG和BDEF,证明A、E、F、G共面,再由证过的垂直关系,证明面AEFG,所以为所求,在中,可求出AN即AC的值,在等腰三角形AMC中,可求出MC,而在直角三角形GMC中可求;法二:连结BM,在中,利用余弦定理,解出,再利用,利用诱导公式求;法三:利用图中的垂直关系,建立空间直角坐标系,找到平面AEF的法向量坐标,再找到坐标,利用夹角公式先求出与平面AEF的法向量的夹角,再利用诱导公式求.
试题解析:(1)矩形中, 1分
平面,平面,平面, 2分
同理平面, 3分
又平面∥平面 4分
(2)取的中点.
由于面,∥,
又是菱形,是矩形,所以,是全等三角形,
所以,就是二面角的平面角 -8分
解法1(几何方法):
延长到,使,由已知可得,是平行四边形,又矩形,所以是平行四边形,共面,由上证可知,,,相交于,平面,为所求.
由,,得
等腰直角三角形中,,可得
直角三角形中,
解法2几何方法):由,,得平面,欲求直线与平面所成的角,先求与所成的角. 12分
连结,设则在中,,,用余弦定理知 -14分
解法3(向量方法):以为原点,为轴、为轴
建立如图的直角坐标系,
由则,
,平面的法向量, -12分
. -14分
核心考点
举一反三
A.假设a,b,c都是奇数或至少有两个偶数 |
B.假设a,b,c都是偶数 |
C.假设a,b,c至少有两个偶数 |
D.假设a, b,c都是奇数 |
A.P>Q | B.P=Q | C.P<Q | D.由a的取值确定 |
A.假设是有理数 | B.假设是有理数 |
C.假设或是有理数 | D.假设+是有理数 |
A.必要条件 | B.充分条件 | C.充要条件 | D.必要条件或充分条件 |
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