10进制的四位自然数的反序数是指千位与个位位置对调，百位与十位位置对调的数，例如4 852的反序数就是2 584.1955年，卡普耶卡（D．R．Kaprekar - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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10进制的四位自然数的反序数是指千位与个位位置对调，百位与十位位置对调的数，例如4 852的反序数就是2 584.1955年，卡普耶卡（D．R．Kaprekar）研究了对四位自然数的一种变换：任给出四位数a_o，用a_o的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数n，得出数a₁=m-n，然后继续对a₁重复上述变换，得数a₂，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论a_o是多大的四位数，只要四个数字不全相同，最多进行k次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数t．请你研究两个10进制四位数5 298和4 852，可得k=______；四位数t=______．

答案

把5 298代入计算，
用5 298的四个数字由大到小重新排列成一个四位数9852．则9852-2589=7263，
用7263的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7632．则7632-2367=5265，
用5265的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6552．则6552-2556=3996，
用3996的四个数字由大到小重新排列成一个四位数9963．则9963-3699=6264，
用6264的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6642．则6642-2466=4176，
用4176的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174，
用6174的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174…
可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．
同样地，把4 852代入计算，可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．
故答案为：7，6174．

核心考点

试题【10进制的四位自然数的反序数是指千位与个位位置对调，百位与十位位置对调的数，例如4 852的反序数就是2 584.1955年，卡普耶卡（D．R．Kaprekar】；主要考察你对合情推理与演译推理等知识点的理解。[详细]

举一反三

我们熟悉定理：平行于同一直线的两直线平行，数学符号语言为：∵a∥b，b∥c，∴a∥c．这个推理称为______．（填“归纳推理”、“类比推理”、“演绎推理”之一）．

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观察下列等式：

+2=4；

×2=4；

+3=

；

×3=

；

+4=

；

×4=

；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为______．

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在计算“1×2+2×3+…n（n+1）”时，先改写第k项：
k（k+1）=

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=

（1×2×3-0×1×2），2×3=

（2×3×4-1×2×3），．．
n（n+1）=

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=

n(n+1)(n+2)
（1）类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的结果；
（2）试用数学归纳法证明你得到的等式．

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（理）已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b=m（m∈N*），则这样的三角形共有______个（用m表示）．

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下面几种是合情推理的是（　　）
①已知两条直线平行同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A+∠B=180°
②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
③数列{a_n}中，a_n=2n-1推出a₁₀=19
④数列1，0，1，0，…推测出每项公式a_n=

+（-1）ⁿ⁺¹•

．

A．①②

B．②④

C．②③

D．③④

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