题目

题型：不详难度：来源：

已知S_n为正项数列{a_n}的前n项和，且满足S_n＝＋a_n(n∈
N_＋)，求出a₁，a₂，a₃，a₄，猜想{a_n}的通项公式并给出证明

答案

a₁＝1，a₂＝2，a₃＝3，a₄＝4，a_n＝n.

解析

由S_n＝＋a_n(n∈N_＋)．
可得a₁＝＋a₁，解得a₁＝1，
S₂＝a₁＋a₂＝＋a₂，解得a₂＝2，
同理a₃＝3，a₄＝4，猜想a_n＝n.
S_n＝＋a_n①
S_n－1＝＋a_n－1，(当n≥2时)②
①－②得(a_n－a_n－1－1)(a_n＋a_n－1)＝0，
∵a_n＋a_n－1≠0，∴a_n－a_n－1＝1，
又a₁＝1，故数列{a_n}是首项a₁＝1，公差d＝1的等差数列，
故a_n＝n.